在平面直角坐标系中，A（a，b）在第一象限内，且a、b满足条件：b-a=−(a−2)2，AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．（1）求△AOC的面积；（2）如图，E为线段OB上一点，连AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED

Question

在平面直角坐标系中，A（a，b）在第一象限内，且a、b满足条件：b-a=√(−(a−2)2)，AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．

（1）求△AOC的面积；
（2）如图，E为线段OB上一点，连AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+(1)/(2)EF的值；
（3）如图，D为x轴上一点，AC=CD，E为线段OB上一动点，连DA、CE，F是线段CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围．

Answer 1

（1）由题意，得
-（a-2）²≥0，
∴（a-2）²≤0．
∵（a-2）²≥0，
∴a-2=0，
∴a=2．
∵b-a=√(−(a−2)2)，
∴b-a=0，
∴b=2，
∴A（2，2）．
∴AC=OC=2．
∴S_△AOC=(1)/(2)×2×2=2．
∴△AOCD的面积为2；

（2）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，
∴∠ABO=∠ACO=90°．
∵∠BOC=90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴AB=AC=BO=CO=2，OA平分∠BOC，∠BAC=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，

∠BAE＝∠CAF

AB＝AC

∠ABE＝∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，BE=CF．
设BE=CF=t，OE=2-t，OF=2+t．
∵ED平分∠OEF，
∴点D是△OEF的内心．
作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G，
∴DG=DM=DH，
∴四边形MOHD是正方形，
∴MO=HO=DM=DG．
设DG=MO=x，
∴x=(EO+FO−EF)/(2)，
∴x=(2−t+2+t−EF)/(2)，
∴EF=4-2x，
∴(1)/(2)WF=2-x．
∴DG+(1)/(2)EF=x+2-x=2．
答：DG+(1)/(2)EF的值为2；

（3）∠KBF的大小不变，∠KBF=45°
延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，
∵四边形ABOC是正方形，
∴OB∥AC．
∴∠EBF=∠CGF，∠BEF=∠GCF．
∵F是CE的中点，
∴EF=CF．
在△BEF和△GCF中，

∠EBF＝∠CGF

∠BEF＝∠GCF

EF＝CF

，
∴△BEF≌△GCF（AAS），
∴BF=GF．
∵BF⊥FK，
∴∠BFK=∠GFK=90°．
在△BFK和△GFK中