曲边梯形由曲线y=x∧2+1,y=0,x=1,x=2所围成.过曲线y=x∧2+1（x∈[1,2]）上一点p作切线使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则P点的坐标为?

Question

曲边梯形由曲线y=x∧2+1,y=0,x=1,x=2所围成.过曲线y=x∧2+1（x∈[1,2]）上一点p作切线使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则P点的坐标为?

Answer 1

设点P坐标(x0,x0²+1) x0∈[1,2]
y'=2x
过点P的直线方程y-x0²-1=2x0(x-x0)
令x=1 y=2x0(1-x0)+x0²+1=2x0-x0²+1
令x=2 y=2x0(2-x0)+x0²+1=4x0-x0²+1
梯形面积=(2-1)(2x0-x0²+1+4x0-x0²+1)/2=3x0-x0²+1=-(x0-3/2)²+13/4
当x0=3/2时,梯形有最大面积13/4
此时y0=x0²+1=(3/2)²+1=9/4+1=13/4
满足题意的点P的坐标为(3/2,13/4)