x,y,z都属于R,求证(1).x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zxx,y,z都属于R,求证(1).x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx(2).（x+y）(y+z)(z+x)≥8xyz

Question

x,y,z都属于R,求证(1).x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx
x,y,z都属于R,求证(1).x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx
(2).（x+y）(y+z)(z+x)≥8xyz

Answer 1

第一个问题：
∵x、y、z都是实数,∴（x－y）^2＋（y－z）^2＋（x－z）^2≧0,
∴（x^2－2xy＋y^2）＋（y^2－2yz＋z^2）＋（x^2－2xz＋z^2）≧0,
∴2（x^2＋y^2＋z^2）≧2（xy＋yz＋xz）,
∴x^2＋y^2＋z^2≧xy＋yz＋xz.
第二个问题：
∵x、y、z都是实数,∴x＋y≧2√（xy）、y＋z≧2√（yz）、z＋x≧2√（xz）,
显然,上述三个不等式中的等号能够同时取得.
∴（x＋y）（y＋z）（z＋x）≧8xyz.
注：用第二个问题的方法也能证明第一个问题.