设*是集合A上可结合的二元运算,且对任意x,y属于A,若x*y=y*x,则x=y.证:x*y*x=x

Question

设*是集合A上可结合的二元运算,且对任意x,y属于A,若x*y=y*x,则x=y.证:x*y*x=x

Answer 1

首先证明:对于任意的x,都有x*x=x.
任意x
设：x*x=y
则：(x*x)*x=x*(x*x)
y*x=x*y
所以：x=y
所以:x*x=x
其次,我们说明x*(x*y*x)=(x*y*x)*x,从而由条件知道x*y*x=x.
证明：左边：x*(x*y*x)=(x*x)*y*x=x*y*x(因为x*x=x)
右边：(x*y*x)*x=x*y*(x*x)=x*y*x
所以可得x*(x*y*x)=(x*y*x)*x,因此x*y*x=x.