过M（-1，0）做抛物线C：y2=2px（p>0）的两条切线，切点分别为A，B．若.MA•.MB=0．（1）求抛物线C的方程；（2）N（t，0），（t≥1），过N任做一直线交抛物线C于P，Q两点，当t也变化时，求|PQ

Question

过M（-1，0）做抛物线C：y²=2px（p>0）的两条切线，切点分别为A，B．若

.

MA

•

.

MB

=0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）N（t，0），（t≥1），过N任做一直线交抛物线C于P，Q两点，当t也变化时，求|PQ|的最小值．

Answer 1

（1）

.

MA

•

.

MB

=0⇒MA•MB=90°，
由抛物线的对称性，∴K_MA=1，
∴lAM：

y=x+1

y2=2px

，
∴y²-2px+2p=0．
∴

△=4p2-8p=0

p>0

，∴p=2．
∴y²=4x．
（2）设PQ的方程为：x=my+t，代入抛物线方程可得：y²-4my-4t=0，t≥1．△>0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4my，y₁y₂=-4t，
|PQ|=√(1+m2)√((1+m)2+16t)=4√(1+m2)√(m2+t)，
∴m=0时，|PQ|min=4√(t)（t≥1）．