设方阵A＝211121112的逆矩阵A-1的特征向量为ξ＝1k1，求k的值．

Question

设方阵A＝

2	1	1
1	2	1
1	1	2

的逆矩阵A^-1的特征向量为ξ＝

1

k

1

，求k的值．

Answer 1

设Aξ=λξ，则A^-1ξ=λ^-1ξ
∴A和A^-1具有相同的特征向量
∴ξ＝

1

k

1

也是A的特征向量
∴存在实数λ，使得Aξ=λξ，
即Aξ=（3+k，2+2k，3+k）^T=λ*（1，k，1）^T
∴

3+k＝λ

2+2k＝kλ

解得：k=-2或k=1