关于的方程(x^2-1)^2-|x^2-1|+k=0,给出下列四个命题:(1)存在实数k,使得方程恰有2个不同的实数根;(2)存在实数k,使得方程恰有4个不同的实数根;(3)存在实数k,使得方程恰有5个不同的实数根;(4)存在

Question

关于的方程(x^2-1)^2-|x^2-1|+k=0,给出下列四个命题:
(1)存在实数k,使得方程恰有2个不同的实数根;
(2)存在实数k,使得方程恰有4个不同的实数根;
(3)存在实数k,使得方程恰有5个不同的实数根;
(4)存在实数k,使得方程恰有8个不同的实数根
全都是真命题
怎么求?
设t=|x^2-1|
所以y=t^2-t=-k>=0
然后把这个的图画出来
t=|x^2-1|的图画出来
就用这种画图法吧,然后怎么分类讨论,我只能分出一点点.

Answer 1

设|x^2-1|=t,
则(x^2-1)^2=|x^2-1|^2=t^2
t^2-t+k=0,
t1*t2=k,t1+t2=1/2
此方程有两个小于1/2的正根t1,t2,
则|x^2-1|=t1或t2,x^2=1±t1,x^2=1±t2,
这样共有8个根
如果一根为0,则k=0,t^2-t=0,
t=1或0,
t=1,x^2=1±1=0或2,
t=0,x^2=1,共有3+2=5个根
t1,t2一正一负,因为|x^2-1|≥0,不可能是负数,
所以|x^2-1|=t1,x^2=1±t1,共有4个根,
如果t1＞1,则x^2=1+t1,此时有2个根
所以都是真命题