设-2是A的一个特征值,x=(211)T是对应的一个特征向量,则A^2-5A必有一个特征值是?对应的一个特征向量?您的回答是A^2-5A必有一个特征值是(-2)^2-5*(-2)=4+20=24对应的一个特征向量仍是(2,1,1)^T我

Question

设-2是A的一个特征值,x=(2 1 1)T是对应的一个特征向量,则A^2-5A必有一个特征值是?对应的一个特征向量?
您的回答是 A^2-5A 必有一个特征值是 (-2)^2-5*(-2) = 4+20 = 24
对应的一个特征向量仍是 (2,1,1)^T
我想知道为什么特征向量不变?

Answer 1

这是已有结论
也可以直接证明
由已知 Ax = -2x
所以 A^2x = A(Ax) = A(-2x) = -2Ax = -2 (-2x) = (-2)^2x
同理有 A^k x = (-2)^k x
即 (-2)^k 是 A^k 的特征值,x 仍是特征向量
另:A^2-5A 必有一个特征值是 (-2)^2-5*(-2) = 4+10 = 14