设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3,属于特征值λ1和λ2的特征向量分别为α1=（-1,-1,1）^T,α2=(1,-2,-1)^T求（1）A的属于特征值λ3的特征向量（2）求出A

Question

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3,属于特征值λ1和λ2的特征向量分别为α1=（-1,-1,1）^T,α2=(1,-2,-1)^T
求（1）A的属于特征值λ3的特征向量
（2）求出A

Answer 1

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交
所以A的属于特征值λ3的特征向量α3与α1,α2正交
即满足 -x1-x2+x3 = 0
x1-2x2-x3= 0
解得基础解系:α3=(1,0,1)'
所以A的属于特征值λ3的特征向量为 kα3,k为非零常数,
令P=(α1,α2,α3)=
-1 1 1
-1 -2 0
1 -1 1
则 P^-1AP=diag(1,2,3)
所以有 A=Pdiag(1,2,3)P^-1 =
13/6 -1/3 5/6
-1/3 5/3 1/3
5/6 1/3 13/6