大一数学基础设映射f:X→Y,A⊆X,B⊆X,证明：（1）f(A∪B)=f(A)∪f(B)(2)f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)

Question

大一数学基础
设映射f:X→Y,A⊆X,B⊆X,证明：
（1）f(A∪B)=f(A)∪f(B)
(2) f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)

Answer 1

1.任取y∈f(A∪B),则存在x属于A∪B,使得y=f(x).
则x∈A或者x∈B,所以,y=f(x)∈f(A)或者y=f(x)∈f(B).
所以y∈f(A)∪f(B).所以f(A∪B)包含于f(A)∪f(B)
任取y∈f(A)∪f(B),则y属于f(A)或者f(B)所以存在x∈A或者B使得f(x)=y.
即x∈A∪B.所以y∈f(A∪B).所以f(A)∪f(B)包含于f(A∪B)
所以f(A∪B)=f(A)∪f(B);
2.任取y∈f(A∩B),则存在x∈A∩B,使得y=f(x).
则x∈A且x∈B,所以y=f(x)∈f(A)且y=f(x)∈f(B).
所以y∈f(A)∩f(B)
所以f(A∩B)包含于f(A)∩f(B)