.设f（x）=x2-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值的解析式，并作出此解析式的图象．

Question

.设f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值的解析式，并作出此解析式的图象．

Answer 1

f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为-8，过点（0，-4），
结合二次函数的图象可知：
当t+1＜2，即t＜1时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t+1处取最小值f（t+1）=t²-2t-7，
当

t+1≥2

t≤2

，即1≤t≤2时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2处取最小值-8，
当t＞2时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t处取最小值f（t）=t²-4t-4，
即最小值为g（t），由以上分析可得，g(t)＝

t2−2t−7，t∈(−∞，1)

−8，t∈[1，2]

t2−4t−4，t∈(2，+∞)

，作图象如下；