一道超难的数学证明题!三角形ABC的垂心为O.A,B,C为三角形ABC三个内角.证明:S(BOC):S(AOC):S(AOB)=tanA:tanB:tanCS(AOB)指三角形AOB面积

Question

一道超难的数学证明题!
三角形ABC的垂心为O.A,B,C为三角形ABC三个内角.
证明:S(BOC):S(AOC):S(AOB)=tanA:tanB:tanC
S(AOB)指三角形AOB面积

Answer 1

S(BOC) = 1/2*OB*OC*sin BOC
= 1/2*OB*OC*sin A
= 1/2*OB*OC*tan A*cos A
同理
S(AOB) = 1/2*OA*OB*sin C
= 1/2*OA*OB*tan C*cos C
S(AOC) = 1/2*OA*OC*tan B*cos B
因此只需证
OB*OC*cos A = OA*OB*cos C = OA*OC*cos B
先证第一个等式
OB*OC*cos A = OA*OB*cos C
因cos C / cos A
= cos AOE / cos COE
= OE/OA / OE/OC
= OC/OA
所以上式成立
即第一个等式成立
同理可证 该连等式成立
原题得征