∫（1,x^2）(x^2-t)g(t)dt这积分怎么求导?我有点奇怪我知道变上限积分,因为是对t求积分,所以把x看做常数原积分=x^2∫g(t)dt-∫t·g(t)dt然后用变限积分公式比如前部分x^2·g(x^2)·2x我想问一

Question

∫（1,x^2）(x^2-t)g(t)dt这积分怎么求导?我有点奇怪
我知道变上限积分,因为是对t求积分,所以把x看做常数
原积分=x^2∫ g(t) dt - ∫ t·g(t) dt 然后用变限积分公式
比如前部分x^2 · g(x^2) · 2x 我想问一下求变限积分的时候,对上限求导怎么又把x不看做常数了,看做x^2,求导成2x了?

Answer 1

[∫[1→x²] (x²-t)g(t) dt]'
=[x²∫[1→x²] g(t) dt - ∫[1→x²] tg(t) dt]'
=2x∫[1→x²] g(t) dt + 2x³g(x²)-2x³g(x²)
x是函数的自变量,也就是求导的对象.但对于积分来说,积分变量是t,因此在积分里面x是常数,这里所说的常数是针对积分而言的.
举个例子：
f(x)
=∫[0→1] 2xt dt
=xt² |[0→1]
=x
不知你从这个例子能不能看来出,函数f(x)的自变量是x,但x对于积分而言是常数,显然
∫[0→1] 2xt dt=2x∫[0→1] t dt
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