好难的不等式设x,y,z为非负实数,求证:√(y^2+z^2+zx+xy)+√(z^2+x^2+xy+yz)+√(x^2+y^2+yz+zx)≥2(x+y+z).

Question

好难的不等式
设x,y,z为非负实数,求证:
√(y^2+z^2+zx+xy)+√(z^2+x^2+xy+yz)+√(x^2+y^2+yz+zx)≥2(x+y+z).

Answer 1

证明 首先给出三个局部不等式:
2√[(z^2+x^2+xy+yz)(x^2+y^2+yz+zx)]≥2x^2+x(y+z)+2yz (1-1)
2√[(x^2+y^2+yz+zx)(y^2+z^2+zx+xy)]≥2y^2+y(z+x)+2zx (1-2)
2√[(y^2+z^2+zx+xy)(z^2+x^2+xy+yz)]≥2z^2+z(x+y)+2xy (1-3)
(1-1)式平方展开化简为:
[3x^2+4x(y+z)+4yz]*(y-z)^2≥0,显然成立.同理可证另外两式.
(1-1)+(1-2)+(1-3)+2(x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy)得:
[√(y^2+z^2+zx+xy)+√(z^2+x^2+xy+yz)+√(x^2+y^2+yz+zx)]^2≥4(x+y+z)^2.
上式开方后即得所证不等式.