①设x1,x2是函数f(x)=ax'3/3+bx'2/2-a'2x(a＞0)的两个极值点,且|x1|+|x2|=2,用a表示b,并求b的最大值②对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an1)若数列{an}的通项公式an=5n'2/2-13n/2

Question

①设x1,x2是函数f(x)=ax'3/3+bx'2/2-a'2x(a＞0)的两个极值点,且|x1|+|x2|=2,用a表示b,并求b的最大值
②对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an
1)若数列{an}的通项公式an=5n'2/2-13n/2 求{△an}的通项
2)若数列{an}的首项是1,且△an=an+2'n 求{an}的前n项和Sn

Answer 1

①.f(x)=ax'3/3+bx'2/2-a'2x
那么f(x)'=ax^2+bx-a^2,两个极值点应该为f(x)'=ax^2+bx-a^2=0这个方程的根
那么由韦达定理可得,x1+x2=-b/a,x1*x2=-a
∵a>0,那么x1*x2=-a0,x20,t'=2a-3a^2=0,从而求得极大值点为a=2/3
代入求得ymax=bmax=(4√3)/9
②1)an=5n^2/2-13n/2,a(n+1)=(5n^2-3n-8)/2
△an=a(n+1)-an=5n-4
2)△an=a(n+1)-an=an+2^n
a(n+1)=2an+2^n,两边同除以2^n可得,a(n+1)/2^n=an/2^（n-1）+1 ,令an/2^（n-1）=bn,那么b(n+1)-bn=1,∴bn为等差数列,a1=1,b1=1,bn=n,代入可得an= n2^(n-1)
Sn=a1+a2+.an=1*2^0+2*2^1+3*2^2+.+ n2^(n-1) ①
2Sn=1*2^1+2*2^2+.+(n-1)2^(n-1)+n2^n ②
②-①=Sn=-1-2^1-2^2-.2^(n-1)+n2^n=-1-(2+2^2+2^3+...+2^(n-1))+n2^n=(n-1)2^n+1
∴Sn=(n-1)2^n+1 (这里使用了错位相消法）