令N是所有n阶下三角非奇异复方阵的集合,D是主对角线上的元都是非零复数的n阶对角矩阵的集合,说明矩阵的乘法是N,D的运算,并证明N和D对矩阵的乘法做成群.

Question

令N是所有n阶下三角非奇异复方阵的集合,D是主对角线上的元都是非零复数的n阶对角矩阵的集合,说明矩阵的乘法是N,D的运算,并证明N和D对矩阵的乘法做成群.

Answer 1

你问了两问,其实第二问中包含了第一问.
我证明N是群,D你自己试试,不行再追问吧.
现在乘法封闭（也就是证明矩阵的乘法是D的运算）
N是所有n阶下三角非奇异复方阵的集合
任取a,b属于N
那么ab一定是一个下三角矩阵,且ab对角线上的元素恰为a和b对角线上元素对应的乘积.
因为a,b非奇异,故a,b对角线上各元素乘积不为零,那么ab对角线上个元素乘积也不为0,
故ab属于N
N是原群
矩阵的乘法是可结合的,故可结合
N是半群
根据单位矩阵的特点,易知单位矩阵E是N的单位元.
N是幺半群
根据伴随矩阵的方式求解逆矩阵,不难发现,a的逆也在N中.
N是群.
另一个证明方法简单,首先所有的可逆矩阵构成一个群.
你只要证明这个子集是他的子群就好了.
那么任取a,b属于N
根据伴随矩阵的方式求解逆矩阵,不难发现,b^(-1)属于N.
又因为ab^(-1)一定是一个下三角矩阵,且ab对角线上的元素恰为a和b^(-1)对角线上元素对应的乘积.因为a,b^(-1)非奇异,故a,b^(-1)对角线上各元素乘积不为零,那么ab^(-1)对角线上个元素乘积也不为0,
故ab^(-1)属于N
故N是可逆矩阵构成的群的子群,当然他是群.