说明理由证明题：1.设f(x)、g(x)在[-a,a]上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数).（1）证明∫(上面是a,下面是-a)f(x)g(x)dx=A∫(上面是a,下面是0)g(x)dx；(2)计算∫(上面是π/2,下

Question

说明理由
证明题：
1.设f(x)、g(x)在[-a,a]上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A为常数).
（1）证明 ∫ (上面是a,下面是-a) f(x)g(x)dx=A ∫ (上面是a,下面是0) g(x)dx；
(2) 计算 ∫ (上面是π/2,下面是-π/2) 丨sinx丨arctane^-x dx.

Answer 1

(1) 设h(x)=f(x)-A/2,h(x)+h(-x)=0,h(x)奇函数,h(x)g(x)奇函数
∫ (上面是a,下面是-a) f(x)g(x)dx
=∫ (上面是a,下面是-a) h(x)g(x)dx+A/2∫ (上面是a,下面是-a)g(x)dx
=A ∫ (上面是a,下面是0) g(x)dx
(2)利用(1)的结果,丨sinx丨为偶函数,arctane^-x+arctane^x=π/2
∫ (上面是π/2,下面是-π/2) 丨sinx丨arctane^-x dx
=π/2∫ (上面是π/2,下面是0) 丨sinx丨dx=π/2