设a是实数，函数f（x）=4x+|2x-a|（x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）求函数y=f（x）的值域（用a表示）．

Question

设a是实数，函数f（x）=4^x+|2^x-a|（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）求函数y=f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

（1）若函数f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x）恒成立，
则f（0）=0，
∵f（0）=1+|1-a|≥1，
∴f（0）≠0，
即函数f（x）不是奇函数．
（2）令t=2^x，则t＞0，则原函数等价为y=t²+|t-a|，
①若a≤0，则y=t²+t-a，在t∈（0，+∞）上是增函数，即值域为（-a，+∞）
②若a＞0，则y=

t2+t−a	0＜t≤a
t2+t−a	t＞a

，
对于0＜t≤a，则y=（t-(1)/(2)）²+a-(1)/(4)，
当0＜a＜(1)/(2)，y关于t的减函数，y的取值范围是[a²，a），
当a≥(1)/(2)时，y_min=a-(1)/(4)，
当(1)/(2)≤a＜1时，y的取值范围是[a-(1)/(4)，a），
当a≥1时，y的取值范围是[a-(1)/(4)，a²]，
对于t＞a，有y=t²+t-a=y=（t+(1)/(2)）²-a-(1)/(4)是关于t的增函数，其取值范围是（a²，+∞），
综上：a≤0时，函数的值域为（-a，+∞），
0＜a＜(1)/(2)时，函数的值域是[a²，a），
a≥(1)/(2)时，函数的值域是[a-(1)/(4)，+∞）．