如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），g(n)−g(m)n−m＞0恒成立；②

Question

如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），(g(n)−g(m))/(n−m)＞0恒成立；
②函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0；
③任意a∈R，g（x）的导函数g′（x）有两个零点；
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
其中，所有正确结论的序号是______．

Answer 1

①由函数f（x）的图象可知：当x∈[-1，1]时，函数f（x）单调递增，
∴f′（x）≥0，（只有x=±1，0时取等号），对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），(g(n)−g(m))/(n−m)=(af(n)+b−[af(m)+b])/(n−m)=(a(f(n)−f(m)))/(n−m)．
由中值定理可得：∃ξ∈（-1，1），使得af′（ξ）=(a(f(n)−f(m)))/(n−m)≥0，
∵a＞0，∴(f(n)−f(m))/(n−m)≥0，而m＜n，故等号不成立，∴(f(n)−f(m))/(n−m)＞0．
②∵f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，∴f（-x）+f（x）=0．
∵函数g（x）是奇函数⇔g（-x）+g（x）=0（x∈[-c，c]）⇔a[f（-x）+f（x）]+2b=0⇔2b=0⇔b=0．
因此函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0，正确；
③由函数f（x）的图象可知：当x∈[-c，-1）时，函数f（x）单调递减，
∴f′（x）＜0；在x=-1时函数f（x）取得极小值，可得f′（-1）=0；当x∈（-1，1）时，函数f（x）单调递增，
∴f′（x）＞0；在x=1时函数f（x）取得极大值，可得f′（1）=0；当x∈（1，c]时，函数f（x）单调递减，∴f′（x）＜0．
当a≠0时，g（x）的导函数g′（x）=af′（x）必有两个零点；
当a=0时，对∀x∈[-c，c]，都有g′（x）=0，此时有无数个零点．
因此③不正确．
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0化为f(x)＝(−b)/(a)＞0，画出函数y=(−b)/(a)．由图象可知：当(−b)/(a)＞f(−c)时，函数y=f（x）与y=(−b)/(a)的图象至多有两个交点，因此方程g（x）=0必有3个实数根是错误的．
综上可知：只有①②正确．
故答案为：①②．