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对定义在[1,+∞)上的函数f(x)和常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“凯森数对”.(1)若(1,1)是f(x)的一个“凯森数对”,且f(1)=3,求f(16

题目详情
对定义在[1,+∞)上的函数f(x)和常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“凯森数对”.
(1)若(1,1)是f(x)的一个“凯森数对”,且f(1)=3,求f(16);
(2)已知函数f1(x)=log3x与f2(x)=2x的定义域都为[1,+∞),问它们是否存在“凯森数对”?分别给出判断并说明理由;
(3)若(2,0)是f(x)的一个“凯森数对”,且当1<x≤2时,f(x)=
2x-x2
,求f(x)在区间(1,+∞)上的不动点个数.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,f(2x)=f(x)+1,且f(1)=3,则f(2n)=f(2n-1)+1,
则数列{f(2n)}成等差数列,公差为d=1,首项f(1)=3,
于是f(16)=7;
(2)对于函数f1(x)=log3x,定义域为[1,+∞),
∴log32x=alog3x+b,
∴log32+log3x=alog3x+b,
∴a=1,b=log32,
∴(1,log32)为函数f1(x)的一个“凯森数对,
对于函数f2(x)=2x,定义域为[1,+∞),
∴22x=a2x+b,
∴a=2x,b=0,
∴不存在“凯森数对“
(3)当2nn+1,则1<
x
2n
≤2,
则由题意得f(x)=2f(
x
2
)=22f(
x
22
)=…=2nf(
x
2n
)=2n
2x
2n
-(
x
2n
)2
=
2n+1•x-x2

由f(x)-x=0,得
2n+1•x-x2
=x,
解得x=0,或x2=2n均不符合条件,
即当2n<x≤2n+1时,函数y=f(x)-x在区间(1,+∞)无零点,
由于(1,+∞)=(1,2]∪(2,22]∪…∪(2n,2n+1]…,
∴f(x)在区间(1,+∞)上无零点,
f(x)在区间(1,+∞)上的不动点个数为0个.