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如果存在常数a使得数列{an}满足:若x是数列{an}中的一项,则a-x也是数列{an}中的一项,称数列{an}为“兑换数列”,常数a是它的“兑换系数”.(1)若数列:1,2,4,m(m>4)是“兑换系数
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如果存在常数a使得数列{an}满足:若x是数列{an}中的一项,则a-x也是数列{an}中的一项,称数列{an}为“兑换数列”,常数a是它的“兑换系数”.
(1)若数列:1,2,4,m(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”,求m和a的值;
(2)已知有穷等差数列bn的项数是n0(n0≥3),所有项之和是B,求证:数列bn是“兑换数列”,并用n0和B表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列{cn},是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.
(1)若数列:1,2,4,m(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”,求m和a的值;
(2)已知有穷等差数列bn的项数是n0(n0≥3),所有项之和是B,求证:数列bn是“兑换数列”,并用n0和B表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列{cn},是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为数列:1,2,4,m(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项,且a-m<a-4<a-2<a-1
故a-m=1,a-4=2,即a=6,m=5.
(2)证明:设数列{bn}的公差为d,
因为数列{bn}是项数为n0项的有穷等差数列
若b1≤b2≤b3≤…≤bn0,则a-b1≥a-b2≥a-b3≥…≥a-bn0,
即对数列{bn}中的任意一项bi(1≤i≤n0),a-bi=b1+(n0-i)d=bn0+1-i∈{bn}
同理可得:b1≥b2≥b3≥…≥bn0,a-bi=b1+(n0-i)d=bn0+1-i∈{bn}也成立,
由“兑换数列”的定义可知,数列{bn}是“兑换数列”;
又因为数列{bn}所有项之和是B,所以B=
=
,即a=
;
(3)假设存在这样的等比数列{cn},设它的公比为q(q>1),
因为数列{cn}为递增数列,所以c1<c2<c3<…<cn,则a-c1>a-c2>a-c3>…>a-cn,
又因为数列{cn}为“兑换数列”,则a-ci∈{cn},所以a-ci是正整数
故数列{cn}必为有穷数列,不妨设项数为n项,则ci+cn+1-i=a(1≤i≤n)
①若n=3,则有c1+c3=a,c2=
,又c22=c1c3,由此得q=1,与q>1矛盾
②若n≥4,由c1+cn=c2+cn-1,得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0
即(q-1)(1-qn-2)=0,故q=1,与q>1矛盾;
综合①②得,不存在满足条件的数列{cn}.
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项,且a-m<a-4<a-2<a-1
故a-m=1,a-4=2,即a=6,m=5.
(2)证明:设数列{bn}的公差为d,
因为数列{bn}是项数为n0项的有穷等差数列
若b1≤b2≤b3≤…≤bn0,则a-b1≥a-b2≥a-b3≥…≥a-bn0,
即对数列{bn}中的任意一项bi(1≤i≤n0),a-bi=b1+(n0-i)d=bn0+1-i∈{bn}
同理可得:b1≥b2≥b3≥…≥bn0,a-bi=b1+(n0-i)d=bn0+1-i∈{bn}也成立,
由“兑换数列”的定义可知,数列{bn}是“兑换数列”;
又因为数列{bn}所有项之和是B,所以B=
(b1+bn0)•n0 |
2 |
an0 |
2 |
2B |
n0 |
(3)假设存在这样的等比数列{cn},设它的公比为q(q>1),
因为数列{cn}为递增数列,所以c1<c2<c3<…<cn,则a-c1>a-c2>a-c3>…>a-cn,
又因为数列{cn}为“兑换数列”,则a-ci∈{cn},所以a-ci是正整数
故数列{cn}必为有穷数列,不妨设项数为n项,则ci+cn+1-i=a(1≤i≤n)
①若n=3,则有c1+c3=a,c2=
a |
2 |
②若n≥4,由c1+cn=c2+cn-1,得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0
即(q-1)(1-qn-2)=0,故q=1,与q>1矛盾;
综合①②得,不存在满足条件的数列{cn}.
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