定义在R上的连续函数f(x)满足条件:(1)f(x)是奇函数;(2)f(1+x)=f(1-x);(3)f(x)在(0,1)上单调递增;(4)f(1)=1,则在x∈[-2k,2k]时(k为非零正整数),函数f(x)的图
定义在R上的连续函数f(x)满足条件:(1)f(x)是奇函数;(2)f(1+x)=f(1-x);(3)f(x)在(0,1)上单调递增;(4)f(1)=1,则在x∈[-2k,2k]时(k为非零正整数),函数f(x)的图象与x轴的交点的个数是( )
A. 2k-1
B. 2k
C. 2k+1
D. k+1
∴由f(1+x)=f(1-x)得f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),
即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=f(x),
即函数的周期是4,
在一个周期[-2,2]内,
∵f(1)=1,∴f(-1)=-f(1)=1,
∵f(0)=0,∴f(2)=-f(0)=0,则f(-2)=-f(2)=0,
则在每一个周期(-2,2]内有两个零点,则在[-2k,2k]共有2k+1个零点,
即),函数f(x)的图象与x轴的交点的个数是2k+1,
故选:C.
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