设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足xf′（x）=f（x）+3a2x2（a为常数），又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f（x），并问a为何值时

Question

设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足xf′（x）=f（x）+(3a)/(2)x2（a为常数），又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f（x），并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

Answer 1

x∈（0，1），xf′（x）=f（x）+(3a)/(2)x2（a为常数），
则(1)/(x)f′(x)−(1)/(x2)f(x)＝(3a)/(2)(a为常数)，
[(1)/(x)f(x)]′＝(3a)/(2)＝((3a)/(2)x+C)′，C为任意常数，
(1)/(x)f(x)＝(3a)/(2)x+C
f(x)＝(3a)/(2)x2+Cx
又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，
即S＝

∫

1 0

(y−0)dx═

∫

1 0

((3a)/(2)x2+Cx)dx=[(a)/(2)x3+(C)/(2)x2

]

1 0

=(a)/(2)+(C)/(2)＝2
所以，C=4-a．
故f(x)＝(3a)/(2)x2+Cx=(3a)/(2)x2+(4−a)x．
又因为函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，所以上式对区间[0，1]适用．
所以，f(x)＝(3a)/(2)x2+(4−a)x，x∈[0，1]
因为函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，
所以，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
V＝

∫

1 0

πy2dx=π

∫

1 0

[(3a)/(2)x2+(4−a)x]2dx=π

∫

1 0

[(9a2)/(4)x4+3a(4−a)x3+(4−a)