已知函数f（x）=1+lnx-k(x-2)x，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x>2时，f（x）>0

Question

已知函数f（x）=1+lnx-(k(x-2))/(x)，其中k为常数．
（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；
（3）若k为整数，且当x>2时，f（x）>0恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．
因为f′（x）=(1)/(x)，从而f′（1）=1．
又f （1）=1，
所以曲线y=f（x）在点 （1，f（1））处的切线方程y-1=x-1，
即x-y=0．                     
（2）证明：当k=5时，f（x）=lnx+(10)/(x)-4．
因为f′（x）=(x-10)/(x2)，从而
当x∈（0，10），f′（x）<0，f（x）单调递减；
当x∈（10，+∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增．
所以当x=10时，f（x）有极小值．    
因f（10）=ln10-3<0，f（1）=6>0，
所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．
因为f（e⁴）=4+(10)/(e4)-4>0，所以f（x）在（10，e⁴）之间有一个零点．
从而f（x）有两个不同的零点．   
（3）方法一：由题意知，1+lnx-(k(x-2))/(x)>0对x∈（2，+∞）恒成立，
即k<(x+xlnx)/(x-2)对x∈（2，+∞）恒成立．
令h（x）=(x+xlnx)/(x-2)，则h′（x）=(x-2lnx-4)/((x-2)2)．
设v（x）=x-2lnx-4，则v′（x）=(x-2)/(x)．
当x∈（2，+∞）时，v′（x）>0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．
因为v（8）=8-2ln8-4=4-2ln8<0，v（9）=5-2ln9>0，
所以存在x₀∈（8，9），v（x₀）=0，即x₀-2lnx₀-4=0．
当x∈（2，x₀）时，h′（x）<0，h（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增．
所以当x=x₀时，h（x）的最小值h（x₀）=(x0+x0lnx0)/(x0-2)．
因为lnx₀=(x0-4)/(2)，所以h（x₀）=(x0)/(2)∈（4，4.5）．
故所求的整数k的最大值为4．  
方法二：由题意知，1+lnx-(k(x-2))/(x)>0对x∈（2，+∞）恒成立．
f（x）=1+lnx-(k(x-2))/(x)，f′（x）=(x-2k)/(x2)．
①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）>0对x∈（2，+∞）恒成立，
所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．
而f（2）=1+ln2>0成立，所以满足要求．
②当2k>2，即k>1时，
当x∈（2，2k）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，
当x∈（2k，+∞），f′（x）>0，f（x）单调递增．
所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k-k．
从而f（x）>0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k-k>0．
令g（k）=2+ln2k-k，则g′（k）=(1-k)/(k)<0，
从而g（k） 在（1，+∞）为减函数．
因为g（4）=ln8-2>0，g（5）=ln10-3<0，
所以使2+ln2k-k>0成立的最大正整数k=4．
综合①②，知所求的整数k的最大值为4．