连续函数的问题设f(x)在R上有定义,f(2x)=f(x),试证:如果f(x)在x=0处连续,则f(x)在R上为常数

Question

连续函数的问题
设f(x)在R上有定义,f(2x)=f(x),试证:如果f(x)在x=0处连续,则f(x)在R上为常数

Answer 1

楼上的证明中,以下步骤是有问题的:
令n趋于无穷得
f(x)=limf(x)=limf(x/2^n)
f(x)在x=0处连续
所以f(x)=limf(0)
下面给出我的证明.请大家辨别一下其中的区别.
证明：
用反证法.
假设f(x)在R上不是一个常数.则必存在一个数a∈R,a≠0,满足f(a) ≠f(0).
无妨地,设f(a) ＞f(0).且设2ε= f(a) -f(0).则
因为f(x)在x=0处连续,所以对ε＞0,存在η＞0,使得
当∣x-0∣=∣x∣＜η时,∣f(x)- f(0)∣＜ε
另一方面,据已知,有
f(a)= f(a/2)= f(a/4)= …f(a/2^n) （n=1,2,3,…）
因为必定存在一个数m∈N,使得
∣a/2^m∣＜η,
所以,就该有
∣f(a/2^m)- f(0)∣＜ε,
但我们知道
∣f(a/2^m)- f(0)∣=∣f(a)- f(0)∣=2ε
由此,便有
2ε＜ε,或进一步地,2＜1.这是不可能的,所以必有
对任何的a∈R,都有f(a) =f(0).这也就是说,f(x)在R上为常数.这个常数的值就是f(0).证完.