已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，当x=±1时，f（x）有极值，且极大值为2，f（2）=-2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=|f（x）-k|-1有两个零点，求实数k的取值范围．（3）

题目详情

已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，当x=±1时，f（x）有极值，且极大值为2，f（2）=-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=|f（x）-k|-1有两个零点，求实数k的取值范围．
（3）设函数h（x）=2x²+（1-t）x，g(x)＝[

f(x)−2x

+h(x)]e−x，若存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），求t的取值范围．

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答案和解析

（1）∵函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，当x=1和-1时，f（x）有极值，
∴f'（x）=a（x-1）（x+1）=ax²-a，
∴f（x）=

ax3

-ax+b，
∵f（x）有极值，且极大值为2，f（2）=-2，
∴f（2）=

a-2a+b=-2，f（1）=

-a+b=2，
或f（2）=

a-2a+b=-2，f（-1）=-

+a+b=2，
解得a=-3，b=0，
所以函数f（x）的解析式是f（x）=-x³+3x；
（2）y=lf（x）-k|-1=|-x³+3x-k|-1，
由y=0得，x³-3x+k=1或x³-3x+k=-1，
令m（x）=x³-3x+k，则m′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x＜-1时，m′（x）＞0，当-1＜x＜1时，m′（x）＜0，当x＞1时，m′（x）＞0，
所以当x=-1时，m（x）有极大值，m（-1）=2+k，当x=1时，m（x）有极小值，m（1）=-2+k，
函数y=|f（x）-k|-1有两个零点，则m（x）图象与y=±1有两个交点，
所以2+k＜-1或-2+k＞1，或

2+k＜1

−2+k＞−1

，解得k＜-3，或k＞3，
所以实数k的取值范围为：k＜-3或k＞3．
（3）g（x）=[

−x3+x

+2x²+（1-t）x]e^-x=[x²+（1-t）x+1]e^-x，
g′（x）=（2x+1-t）e^-x-e^-x[x²+（1-t）x+1]
=-e^-x[x²-（t+1）x+t]=-e^-x（x-1）（x-t），
x∈[0，1]，当x＜t时，g′（x）≤0，g（x）单调递减；当x＞t时，g′（x）≥0，g（x）单调递增．
∴x=t为g（x）的极小值点．
①当t≤0时，g（x）在[0，1]上递增，g_min（x）=g（0）=1，gmax(x)＝g(1)＝(3−t)e−1，
只须2×1＜（3-t）e^-1，t＜3-2e．
∴此时，t＜3-2e．
②当t≥1时，g（x）在[0，1]上递减，g_min（x）=g（1）=（3-t）e^-1，g_max=g（0）=1，
只须2（3-t）e^-1＜1，t＞3-

，
∴此时，t＞3-

．
③当0＜t＜1时，g_min（x）=g（t），而g_max（x）=max{g（0），g（1）}，
所以2g（t）＜max{1，

3−t

}，即2×

t+1

＜max{1，

3−t

}（*），
易知y=

t+1

在[0，1]上单调递减，所以2×