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如图所示,以△ABC的三边为边,分别作三个等边三角形.(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形是矩形?(3)当△ABC满足什么条件时是菱形?
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(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时是菱形?
(4)四边形ADEF是否能为正方形?

(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时是菱形?
(4)四边形ADEF是否能为正方形?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形,
∴AB=AD,AC=CF,BC=CE,∠BCE=∠ACF,
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE,
即∠BCA=∠FCE,
在△BCA和△ECF中,
,
∴△BCA≌△ECF(SAS),
∴AB=EF,
∵AB=AD,
∴AD=EF,
同理DE=AF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2) 当∠BAC=150°时,∠DAF=90°,此时四边形ADEF是矩形;
(3) 当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,
由第(1)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;
(4) 当∠BAC=150°、AB=AC时四边形ADEF是正方形.
BC=CE ∠BCA=∠ECF AC=CF BC=CE BC=CE BC=CE∠BCA=∠ECF ∠BCA=∠ECF ∠BCA=∠ECFAC=CF AC=CF AC=CF ,
∴△BCA≌△ECF(SAS),
∴AB=EF,
∵AB=AD,
∴AD=EF,
同理DE=AF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2) 当∠BAC=150°时,∠DAF=90°,此时四边形ADEF是矩形;
(3) 当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,
由第(1)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;
(4) 当∠BAC=150°、AB=AC时四边形ADEF是正方形.
∴AB=AD,AC=CF,BC=CE,∠BCE=∠ACF,
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE,
即∠BCA=∠FCE,
在△BCA和△ECF中,
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∴△BCA≌△ECF(SAS),
∴AB=EF,
∵AB=AD,
∴AD=EF,
同理DE=AF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2) 当∠BAC=150°时,∠DAF=90°,此时四边形ADEF是矩形;
(3) 当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,
由第(1)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;
(4) 当∠BAC=150°、AB=AC时四边形ADEF是正方形.
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BC=CE | |
∠BCA=∠ECF | |
AC=CF |
BC=CE | |
∠BCA=∠ECF | |
AC=CF |
BC=CE | |
∠BCA=∠ECF | |
AC=CF |
BC=CE | |
∠BCA=∠ECF | |
AC=CF |
∴△BCA≌△ECF(SAS),
∴AB=EF,
∵AB=AD,
∴AD=EF,
同理DE=AF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2) 当∠BAC=150°时,∠DAF=90°,此时四边形ADEF是矩形;
(3) 当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,
由第(1)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;
(4) 当∠BAC=150°、AB=AC时四边形ADEF是正方形.
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