如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时是菱形？

Question

如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时是菱形？
（4）四边形ADEF是否能为正方形？如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时是菱形？
（4）四边形ADEF是否能为正方形？

Answer 1

（1）证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠FCE，
在△BCA和△ECF中，

BC=CE

∠BCA=∠ECF

AC=CF

，
∴△BCA≌△ECF（SAS），
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2） 当∠BAC=150°时，∠DAF=90°，此时四边形ADEF是矩形；

（3） 当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；

（4） 当∠BAC=150°、AB=AC时四边形ADEF是正方形．

BC=CE

∠BCA=∠ECF

AC=CF

BC=CE

∠BCA=∠ECF

AC=CF

BC=CE

∠BCA=∠ECF

AC=CF

BC=CE

∠BCA=∠ECF

AC=CF

BC=CE

∠BCA=∠ECF

AC=CF

BC=CE∠BCA=∠ECFAC=CFBC=CEBC=CEBC=CE∠BCA=∠ECF∠BCA=∠ECF∠BCA=∠ECFAC=CFAC=CFAC=CF，
∴△BCA≌△ECF（SAS），
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2） 当∠BAC=150°时，∠DAF=90°，此时四边形ADEF是矩形；

（3） 当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；

（4） 当∠BAC=150°、AB=AC时四边形ADEF是正方形．