设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=0，已知A的秩r（A）=2．（1）求A的全部特征值；（2）当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

Question

设A为三阶实对称矩阵，且满足A²+2A=0，已知A的秩r（A）=2．
（1）求A的全部特征值；
（2）当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

Answer 1

（1）
设λ为A的一个特征值，则有：Aα=λα，（α≠0），
则：A²α=A（Aα）=Aλα=λ（Aα）=λλα=λ²α，
于是有：（A²+2A）α=A²α+2Aα=0，
即：（λ²+2λ）α=0，由α≠0，
得：λ²+2λ=0，
∴λ=0或λ=-2，
由于A为实对称矩阵，必可以对角化，且r（A）=2，
所以对角化的矩阵为：

−2
	−2
		0

=B
于是：A的全部特征值为λ₁=λ₂=-2，λ₃=0．

（2）
∵

A+kE

T=A^T+kE=A+kE，
即：A+kE仍为实对称矩阵
对实对称矩阵A存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=B，
∴A=PBP^-1，
所以：A+kE=PBP^-1+kPP^-1=P（B+kE）P^-1，
∴A+kE～B+kE=

k−2
	k−2
		k

，
要使矩阵A+kE为正定矩阵，只需k-2＞0，且k＞0，也就是：k＞2．