在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD=AE；（2）如图②，若AB=1，BC=2，求DE

Question

在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．

（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD=AE；
（2）如图②，若AB=1，BC=2，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE²+BE²=AE²，试求∠DEB的度数．

Answer 1

（1）证明：如图①中，∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，

AB=BD

∠ABE=∠DBC

BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC．

（2） 如图②中，取BE中点F，连接DF．
∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°
∴∠EDB=180°-DEB∠DBE-∠DEB=90°，
∴DE=√(BE2-BD2)=√(22-12)=√(3)．

（3） 如图③中，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，

AB=BD

∠ABE=∠DBC

BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC．
∵DE²+BE²=AE²，BE=CE，
∴DE²+CE²=CD²，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC-∠BEC=30°．