已知：如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1,PB＝5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6；⑤S正

Question

已知：如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1,PB＝5．下
列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6；⑤S正方形ABCD＝4＋6．其中正确结论的序号是 （　　　） 谢谢!

Answer 1

由边角边定理易知△APD≌△AEB,故①正确；
由△APD≌△AEB得,∠AEP=∠APE=45°,从而∠APD=∠AEB=135°,
所以∠BEP=90°,
过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,
在△AEP中,由勾股定理得PE= 2 ,
在△BEP中,PB= 5 ,PE= 2 ,由勾股定理得：BE= 3 ,
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,
∴∠AEP=45°,
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°,
∴∠EBF=45°,
∴EF=BF,
在△EFB中,由勾股定理得：EF=BF= 6 2 ,
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB,所以∠ADP=∠ABE,而对顶角相等,所以③是正确的；
由△APD≌△AEB,
∴PD=BE= 3 ,
可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=1 2 + 6 2 ,因此④是错误的；
连接BD,则S△BPD=1 2 PD×BE=3 2 ,
所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 6 2 ,
所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+ 6 ．
综上可知,正确的有①③⑤．