（2008•徐州）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，

Question

（2008•徐州）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°
操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
探究一：在旋转过程中，
（1）如图2，当(CE)/(EA)＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；
（2）如图3，当(CE)/(EA)＝2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当(CE)/(EA)＝m时，EP与EQ满足的数量关系式为______，其中m的取值范围是

0＜m≤2+√(6)

0＜m≤2+√(6)

．（直接写出结论，不必证明）
探究二：若(CE)/(EA)＝2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm²），在旋转过程中：
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．
（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．

Answer 1

探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得
BE=CE，∠PBE=∠C，
又∠BEP=∠CEQ，
则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，
∴∠EMP=∠ENC，
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，
∴∠MEP=∠NEF，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，
∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），
又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），
∴∠MPE=∠EQN（等量代换），
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），
∴(EP)/(EQ)＝(ME)/(EN)（两个相似三角形的对应边成比例）；
在Rt△AME∽Rt△ENC
∴(CE)/(EA)=m=(EN)/(ME)
∴(EP)/(EQ)=1：m=(AE)/(CE)，
EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，
∴0＜m≤2+√(6)；（当m＞2+√(6)时，EF与BC不会相交）．

探究二：若AC=30cm，
（1）设EQ=x，则S=(1)/(4)x²，
所以当x=10√(2)时，面积最小，是50cm²；
当x=10√(3)时，面积最大，是75cm²．

（2）当x=EB=5√(10)时，S=62.5cm²，
故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；
当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．