在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）设BD=x，FG=y

Question

在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．
（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）设BD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

AB＝AC

∠BAD＝∠CAE

AD＝AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠ABC=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ABC+∠ACB+∠ACE=180°，即∠ABC+∠BCE=180°，
∴AB∥CE，
又∵EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）∵△BAD≌△CAE，
∴EC=BD，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=EC，
∴BF=BD=x，
又∵AB=8，
∴AF=8-x，
∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC，∠AGF=∠ACB，
∴△AFG∽△ABC，
∴(AF)/(AB)=(FG)/(BC)，即(8−x)/(8)=(y)/(8)，
∴y=8-x（0＜x＜8）；
（3）过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM=CM=4，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=√(AB2−BM2)=4√(3)，MD=4-x，
由题意得AD²=AM²+MD²，即48+（4-x）²=49，
解得：x₁=3，x₂=5，
当x=3时，y=8-3=5；当x=5时，y=8-5=3，
则FG=3或5．