设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a2，b2]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值

Question

设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[

(a)/(2)，(b)/(2)]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（　　）

A. （0，

(1)/(4)）

B. （-∞，

(1)/(4)）

C. （0，

(1)/(4)]

D. （-∞，

(1)/(4)]

Answer 1

∵函数f（x）=f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[(a)/(2)，(b)/(2)]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴

log2(2a+t)=(a)/(2)

log2(2b+t)=(b)/(2)

，
即

2a+t=2(a)/(2)

2b+t=2(b)/(2)

，
∴a，b是方程2^x-2(x)/(2)+t=0的两个根，
设m=2(x)/(2)=√(2x)，则m>0，此时方程为m²-m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
∴

(-1)2-4t>0

t>0

，
解得：0<t<(1)/(4)，
∴满足条件t的范围是（0，(1)/(4)），
故选：A．