1已知函数f(x)=-x^2+2ex+m-1,g(x)=x+(e^2)/x(x>0）（1）若g(x)=m有零点,求m的取值范围；（2）确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.2设函数f(x)=x^3-(9/2)x^2+6x-a.(1)对于任意实数x,f`(x)≥m恒成立,求m

Question

1已知函数f(x)=-x^2+2ex+m-1,g(x)=x+(e^2)/x (x>0）
（1）若g(x)=m有零点,求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
2设函数f(x)=x^3-(9/2)x^2+6x-a.
(1)对于任意实数x,f`(x)≥m恒成立,求m的最大值；
（2）若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.

Answer 1

1：（1）因为g(x)=x+e^2/x>=2e,取等号时,有x=e.
所以若g(x)=m有零点,所以必有m>=2e.
(2)我们注意到函数f(x)=-x^2+2ex+m-1
=-(x-e)^2+e^2+m-1
在x=e取得最大值e^2+m-1.
而函数g(x)=x+e^2/x(x>0)在x=e处取得最小值.
所以要使g(x)-f(x)=0两个相异的实根,则函数f(x)的最高应高于g(x)的最低点.
于是我们就可以得到e^2+m-1>2e,于是有m>2e+1-e^2
综上所述有m>=2e.
2：1）f'(x)=3x^2-9x+6=3(x^2-3x+9/4)-3/4=3(x-3/2)^2-3/4
大于等于-3/4,所以m小于等于-3/4,所以m最大为-3/4
2）f'(x）=0,得x=1,2;当x小于等于1时,f(x)单调增加的；
当1当x大于等于2时,f(x)单调增加.所以当x=2时,f(x)为最小,所以f(2)=8-18+12-a》0,所以a>2.