已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D）,连接PC,过点P作PE⊥PC交AB于E1、在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ的数量关系；若不存在,请说明

Question

已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D）,连接PC,过点P作PE⊥PC交AB于E
1、在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ的数量关系；若不存在,请说明理由.
2、当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,设AP为x,AE为y,求y于x之间的函数关系式和AE取值范围.

Answer 1

（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90°,
∵∠D=90°,∴∠DPC+∠DCP=90°,
∴∠APE=∠DCP,又∵∠A=∠D=90°,
∴△APE∽△DCP,
∴ AP/DC= AE/DP,∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP,即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP）,
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2,
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ,
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ,
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ,
∴AP≠ 3/2,即P不能是AD的中点,
∴当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x,AE=y,由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y,
∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98,
∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时,y最大值= 98；
而此时BE最小为 78,
∴BE的取值范围是 78≤BE＜2
累死我了,选我哦~