如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．

（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2√(3)，BC=2，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，(FC)/(EA)=(1)/(3)
∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=√(3)，
由(FC)/(EA)=(GC)/(GA)=(1)/(3)，得GC=2．
∵BG=√(BM2+MG2)=2√(3)，
又∵△GCH∽△GBM，∴(GC)/(BG)=(CH)/(BM)，则CH=(GC•BM)/(BG)=(2×√(3))/(2√(3))=1．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为(√(2))/(2)．