难,急,数列{An}的前n项和记为Sn,已知A1=1,A(n+1)=[（n+2）/n]Sn（n=1,2,3,…）,求证：（1）数列{Sn/n}是等比数列；（2）S(n+1)=4×An

Question

难,急,
数列{An}的前n项和记为Sn,已知A1=1,A(n+1)=[（n+2）/n]Sn（n=1,2,3,…）,求证：（1）数列{Sn/n}是等比数列；（2）S(n+1)=4×An

Answer 1

答：
1
a(n+1)=S(n+1)-Sn=[(n+2)/n]*Sn
S(n+1)=2(n+1)/n*Sn
S(n+1)/(n+1)=2*(Sn/n)
S1/1=a1=1
所以数列{Sn/n}是等比数列.
2
由S(n+1)/(n+1)=2*(Sn/n),由等比数列的通项公式知
Sn/n=2^(n-1)*S1/1=2^(n-1)
Sn=n*2^(n-1)
S(n+1)=(n+1)*2^n
an=Sn-S(n-1)=n*2^(n-1)-(n-1)*2^(n-2)=(n+1)*2^(n-2)
所以S(n+1)=4an