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数列{an}满足a1=1,an+an+1=(1/4)^n,Sn=a1+4a2+4^2a3+……+4^n-1an,求5Sn-4^nan
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数列{an}满足a1=1,an+an+1=(1/4)^n,Sn=a1+4a2+4^2a3+……+4^n-1an,求5Sn-4^nan
▼优质解答
答案和解析
Sn=a1+4a2+4^2a3...+4^(n-1)an
4Sn=4a1+4^2a2+4^3a3...+4^nan
5Sn=[a1+4a2+4^2a3...+4^(n-1)an]+[4a1+4^2a2+4^3a3...+4^nan]
=a1+{4(a1+a2)+4^2(a2+a3)+...+4^(n-1)*[a(n-1)+an]}+4^nan
=(1+4^nan)+{4*(1/4)^1+(4^2)*(1/4)^2+...+[4^(n-1)]*[(1/4)^(n-1)]}
=1+4^nan+(n-1)*1=4^nan+n
于是5Sn-4^nan=n
4Sn=4a1+4^2a2+4^3a3...+4^nan
5Sn=[a1+4a2+4^2a3...+4^(n-1)an]+[4a1+4^2a2+4^3a3...+4^nan]
=a1+{4(a1+a2)+4^2(a2+a3)+...+4^(n-1)*[a(n-1)+an]}+4^nan
=(1+4^nan)+{4*(1/4)^1+(4^2)*(1/4)^2+...+[4^(n-1)]*[(1/4)^(n-1)]}
=1+4^nan+(n-1)*1=4^nan+n
于是5Sn-4^nan=n
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