设{an}满足a1=2,a（n+1）=n+Sn,则数列{an}的通项公式为?2^n-1,n≥2可我求出来是3*2^n-1呃==

Question

设{an}满足a1=2,a（n+1）=n+Sn,则数列{an}的通项公式为?
2^n-1,n≥2
可我求出来是3*2^n-1呃= =

Answer 1

a(n+1)=n+Sn
S(n+1)-Sn=n+Sn
S(n+1)=2Sn+n
S(n+1)+(n+1)+1=2Sn+2n+2
[S(n+1)+(n+1)+1]/(Sn+n +1)=2,为定值.
S1+1+1=2+1+1=4
数列{Sn +n +1}是以4为首项,2为公比的等比数列.
Sn +n+1=4×2^(n-1)=2^(n+1)
Sn=2^(n+1) -n -1
n≥2时,S(n-1)=2^n -(n-1) -1
an=Sn -S(n-1)=2^(n+1) -n -1 -2^n +(n-1)+1=2ⁿ -1
n=1时,a1=2-1=1≠2
数列{an}的通项公式为
an=2 n=1
2ⁿ-1 n≥2
以上为正确的解题过程.此类题目最典型的错误就是变形为：
Sn=a(n+1) -n
再得到S(n-1)=an -(n-1)
然后利用an=Sn-S(n-1)求解.这是个典型的错误解法.