用一个平面截正方体的一角,截面是三角形ABC,过顶点P,做PO垂直平面ABC,垂足为O,令M=……用一个平面截正方体的一角,截面是三角形ABC,过顶点P,做PO垂直平面ABC,垂足为O,令M=1/(PA)^2+1/(PB)^2+1/(PC)^2,N

Question

用一个平面截正方体的一角,截面是三角形ABC,过顶点P,做PO垂直平面ABC,垂足为O,令M=……
用一个平面截正方体的一角,截面是三角形ABC,过顶点P,做PO垂直平面ABC,垂足为O,令M=1/(PA)^2+1/(PB)^2+1/(PC)^2, N=1/(PO)^2, 则M和N的大小关系是?

Answer 1

相等M=N
方法一：特殊位置法如：取PA=PB=PC=1,再由体积法可算出.
方法二：严格推导：为好写记PA=a,PB=b ,PC=c.则AB^2=a^2+b*2,BC^2=b^2+c^2,CA^2=c^2+a^2 .
同样由体积法可得：PO与三角形面积之积＝abc/2 .
三角形ABC的面积＝absinC/2=根号下y^2z^2－(y^2+z^2－x^2)^2/2=...=√a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
所以abc=PO乘√a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 马上得m=n