已知：在四边形ABCD中,AC、BD交与点O,过O作FG‖AB交DA、BC及DC延长线于点F、E、G.求证：GO²＝GE·GF

Question

已知：在四边形ABCD中,AC、BD交与点O,过O作FG‖AB交DA、BC及DC延长线于点F、E、G.求证：GO²＝GE·GF

Answer 1

证明：延长BA与CD的延长线交于点H
∵FG∥AB
∴△CGO∽△CHA,△CGE∽△CHB
∴GO/AH＝CG/CH,GE/BH＝CG/CH
∴GO/AH＝GE/BH
∴GO/GE＝AH/BH
又∵FG∥AB
∴△DGF∽△DHA,△DGO∽△DHB
∴GF/AH＝DG/DH,GO/BH＝DG/DH
∴GF/AH＝GO/BH
∴GF/GO＝AH/BH
∴GO/GE＝GF/GO
∴GO²＝GE·GF
思路：解比例的题首先要将比例转换到可求证相似的三角形中,此题中：GO²＝GE·GF,可转换为GO/GE＝GF/GO,在原图中没有可供转换的相似三角形,却提供了两条平行线,在相似中,平行线是相似转换最可利用的关系.其次,通常在题目中所要求的转换都需要第三方来过渡,本题中用了两次：GO/AH＝CG/CH,GE/BH＝CG/CH得出GO/GE＝AH/BH,GF/AH＝DG/DH,GO/BH＝DG/DH得出GF/GO＝AH/BH,再利用AH/BH求出结论.