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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=9,∠ABC=70°,点E,F分别在线段AD,DC上(点E与点A,D不重合),且∠BEF=110°.(1)当点E为AD中点时,求DF的长;(2)在线段AD上是否存在一点E,使得F点为
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=9,∠ABC=70°,点E,F分别在线段AD,DC上(点E与点A,D不重合),且∠BEF=110°.
(1)当点E为AD中点时,求DF的长;
(2)在线段AD上是否存在一点E,使得F点为CD的中点?若存在,求出AE的长度;若不存在,试说明理由.
(1)当点E为AD中点时,求DF的长;
(2)在线段AD上是否存在一点E,使得F点为CD的中点?若存在,求出AE的长度;若不存在,试说明理由.
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答案和解析
(1)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∠ABC=70°,
∴∠A=∠D=110°,
∴∠AEB+∠ABE=180°-110°=70°.
∵∠BEF=110°,
∴∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°,
∴∠ABE=∠DEF.
∴△ABE∽△DEF,
∴
=
,
又∵E为AD中点,AB=DC=AD=9,
∴AE=DE=4.5,AB=9,
∴DF=
=
=2.25;
(2)不存在.
假设点E存在,设AE=x,则DE=9-x,
又F为CD中点,得到DF=
CD=4.5,
由(1)得
=
,
可得
=
,
整理得x2-9x+40.5=0,
∵△=81-4×40.5=-81<0,即方程无实数根,
∴E点不存在.
∴∠A=∠D=110°,
∴∠AEB+∠ABE=180°-110°=70°.
∵∠BEF=110°,
∴∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°,
∴∠ABE=∠DEF.
∴△ABE∽△DEF,
∴
AE |
DF |
AB |
DE |
又∵E为AD中点,AB=DC=AD=9,
∴AE=DE=4.5,AB=9,
∴DF=
AE•DE |
AB |
4.52 |
9 |
(2)不存在.
假设点E存在,设AE=x,则DE=9-x,
又F为CD中点,得到DF=
1 |
2 |
由(1)得
AE |
DF |
AB |
DE |
可得
x |
4.5 |
9 |
9−x |
整理得x2-9x+40.5=0,
∵△=81-4×40.5=-81<0,即方程无实数根,
∴E点不存在.
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