如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC-CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一

Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC-CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．
（1）点F在边BC上．
①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？
（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得(BO)/(OG)=(1)/(6)？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①如图1
∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，

∠BAF＝∠ADE

AB＝AD

∠ABF＝∠DAE

，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1．
②如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4-2t，BE=4-1-t=3-t，
当△EBF∽△DCF时，
(EB)/(DC)=(BF)/(FC)，
∴(3−t)/(4)=(2t)/(4−2t)，
解得，t=(9−√(57))/(2)，t=(9+√(57))/(2)（舍去），
故t=(9−√(57))/(2)．
当△EBF∽△FCD时，
(BE)/(FC)=(BF)/(CD)，
∴(3−t)/(4−2t)=(2t)/(4)，
∴t²-3t+3=0，方程没有实数根，
所以当t=(9−√(57))/(2)时，△EBF与△DCF相似；

（2）①0＜t≤2时，如图3，以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，
A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3-t）
EF所在的直线函数关系式是：y=(t−3)/(2t)x+3-t，
BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
∵BG=√(22+42)=2√(5)
∵(BO)/(OG)=(1)/(6)，
∴BO=(2√(5))/(7)，OG=(12√(5))/(7)，
设O的坐标为（a，b），

a2+b2＝(20)/(49)

b＝2a

解得

a＝(2)/(7)

b＝(4)/(7)

∴O的坐标为（(2)/(7)，(4)/(7)）
把O的坐标为（(2)/(7)，(4)/(7)）代入y=(t−3)/(2t)x+3-t，得
(4)/(7)=(t−3)/(2t)×(2)/(7)+3-t，
解得，t=(9+2√(15))/(7)（舍去），t=(9−2√(15))/(7)，
②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，
A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t-4），E的坐标（0，3-t），
EF所在的直线函数关系式是：y=(3t−7)/(4)x+3-t，
BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
∵BG=√(22+42)=2√(5)
∵(BO)/(OG)=(1)/(6)，
∴BO=(2√(5))/(7)，OG=(12√(5))/(7)，
设O的坐标为（a，b），

a2+b2＝(20)/(49)

b＝2a

解得

a＝(2)/(7)

b＝(4)/(7)

∴O的坐标为（(2)/(7)，(4)/(7)）
把O的坐标为（(2)/(7)，(4)/(7)）代入y=(3t−7)/(4)x+3-t，得
(4)/(7)=(3t−7)/(4)×(2)/(7)+3-t，
解得：t=(27)/(11)．
综上所述，存在t=(9−2√(15))/(7)或t=(27)/(11)，使得(BO)/(OG)=(1)/(6)．