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若复数z满足|共轭z-3-3i|=2|z|,求z为何值,|z|最小
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若复数z满足|共轭z-3-3i|=2|z|,求z为何值,|z|最小
▼优质解答
答案和解析
本题目最简单的方法是利用向量模不等式,
楼主自己动手完成吧.
以下用一个较繁琐的方法
设z＝a+bi,z'＝a-bi,代入条件式得
|(a-bi)-3-3i|＝2|a+bi|
→2(a^2+b^2)＝(a-3)^2+(-b-3)^2
→(a+1)^2+(b-1)^2＝(√8)^2.
故可设a＝-1+√8cosθ,b＝1+√8sinθ.
∴|z|^2＝a^2+b^2
＝(-1+√8cosθ)^2+(1+√8sinθ)^2
＝10+8sin(θ-π/4).
∴sin(θ-π/4)＝-1时,所求最小值为:√2;
sin(θ-π/4)＝1时,所求最大值为：3√2.
楼主自己动手完成吧.
以下用一个较繁琐的方法
设z＝a+bi,z'＝a-bi,代入条件式得
|(a-bi)-3-3i|＝2|a+bi|
→2(a^2+b^2)＝(a-3)^2+(-b-3)^2
→(a+1)^2+(b-1)^2＝(√8)^2.
故可设a＝-1+√8cosθ,b＝1+√8sinθ.
∴|z|^2＝a^2+b^2
＝(-1+√8cosθ)^2+(1+√8sinθ)^2
＝10+8sin(θ-π/4).
∴sin(θ-π/4)＝-1时,所求最小值为:√2;
sin(θ-π/4)＝1时,所求最大值为：3√2.
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