若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.

Question

若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+ 是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.

Answer 1

存在，z=-1-2i或z=-2-i

设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),
则z+ =a+bi+
=a(1+ )+b(1- )i.
又z+3=a+3+bi,z+ 是实数,
根据题意有
∵b≠0,∴
解得 或
∴z=-1-2i或z=-2-i.