设f（x）满足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinxcosx（|x|≤二分之π）求f（x）的表达式

Question

设f（x）满足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinxcosx（|x|≤二分之π） 求f（x）的表达式

Answer 1

f（x）满足
f（-sinx）+3f（sinx）=4sinxcosx（|x|≤二分之π） （1）
将x换成-x,等式仍然成立,那么
f[-sin(-x)]+3f[sin(-x)]=4sin(-x)cos(-x)
即f(sinx)+3f(-sinx)=-4sinxcosx（|x|≤二分之π） （2）
（1）*3-（2）：
8f(sinx)=16sinxcosx
因为|x|≤二分之π,cosx≥0
所以cosx=√(1-sin²x)
∴f(sinx)=2sinx√(1-sin²x) 【sinx∈[-1,1]
∴f(x)=2x√(1-x²) 【x∈[-1,1】