求证：形如11...1（n个1）的数不能表示成两个整数平方和

Question

求证：形如11...1（n个1）的数不能表示成 两个整数 平方和

Answer 1

首先这个问题有点问题……1=1^2+0^2,所以应加上条件：n>1
当n>1时,这个命题正确.
因为一个整数的平方和除以4,要不然没有余数,要不就余1
（因为偶数的平方(2k)^2=4k^2,奇数的平方(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1,k是自然数）
所以,两个整数的平方和除以4,要不没有余数,要不余1,或者余2,绝不可能余3
但是,11...1这个数的后两位为11（所以,要加上条件n>1）,而11除以4余3,所以11...1除以4也余3（这是整数除以4的余数的判断方法,因为11...1=11...1*100+11,而100是能被4整除的）
所以,不可能.