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设f(x)在定义R上是偶函数,当x《-1时,y=f(x)的图像经过(-2,0),斜率为1的射线;在y=f(x)的图像中有一部分是定点在(0,2),且过(-1,1)的一段抛物线,请写出f(x)的表达式.
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设f(x)在定义R上是偶函数,当x《-1时,y=f(x)的图像经过(-2,0),斜率为1的射线;在y=f(x)的图像中有一部分是定点在(0,2),且过(-1,1)的一段抛物线,请写出f(x)的表达式.
▼优质解答
答案和解析
f(x)为定义在R上的偶函数,即f(x)图像关于y轴对称
x≤-1时,设f(x)=x+b,则
0=-2+b
b=2,即x≤-1,f(x)=x+2
所以x≥1,f(x)=f(-x)=-x+2
-1≤x≤1,f(x)为抛物线,顶点为(0,2),对称轴为y轴,设f(x)=ax^2+2,则
-1=a+2,a=-1
所以-1≤x≤1,f(x)=-x^2+2
f(x)=x+2 (x≤-1)
f(x)=-x^2+2 (-1≤x≤1)
f(x)=-x+2 (x≥1)
x≤-1时,设f(x)=x+b,则
0=-2+b
b=2,即x≤-1,f(x)=x+2
所以x≥1,f(x)=f(-x)=-x+2
-1≤x≤1,f(x)为抛物线,顶点为(0,2),对称轴为y轴,设f(x)=ax^2+2,则
-1=a+2,a=-1
所以-1≤x≤1,f(x)=-x^2+2
f(x)=x+2 (x≤-1)
f(x)=-x^2+2 (-1≤x≤1)
f(x)=-x+2 (x≥1)
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