如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；
（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？

Answer 1

（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax²+bx+c中，得

4a+2b+c＝3

36a+6b+c＝1

c＝−2

，
解得

a＝−(1)/(2)

b＝(7)/(2)

c＝−2

，
∴y=-(1)/(2)x²+(7)/(2)x-2=-(1)/(2)（x-(7)/(2)）²+(33)/(8)；

（2）设点P（(7)/(2)，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得(AA′)/(PC′)=(A′P)/(CC′)，即((7)/(2)−2)/(m+2)=(3−m)/((7)/(2))，
解得m₁=(3)/(2)，m₂=-(1)/(2)，
∴P（(7)/(2)，(3)/(2)）或（(7)/(2)，-(1)/(2)）；

（3）①由B（6，1），C（0，-2），得直线BC的解析式为y=(1)/(2)x-2，
∴D（4，0），
当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
此时S=(1)/(2)×4×2+(1)/(2)×4×(33)/(8)=(49)/(4)，
∵S_△BOC=(1)/(2)×2×6=6，
∴当6≤S＜(49)/(4)时，满足条件的点E有两个．
②当4＜S＜6时，-(1)/(2)x²+(7)/(2)x-2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，
需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，
故此时满足条件的点E只有一个．