如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，52）．若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在这样的点P

Question

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，(5)/(2)）．若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得

c＝6

4a+2b+c＝0

49a+7b+c＝ (5)/(2)

，
解得

a＝(1)/(2)

b＝−4

c＝6

．
故抛物线解析式为y=(1)/(2)x²-4x+6；

（2）存在．
设直线AC的解析式y=mx+n，
将A、C两点坐标代入，得

n＝6

7m+n＝(5)/(2) 

，
解得

作业帮用户 2017-10-12

问题解析

（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式；
（2）存在．求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称；由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．

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